соотношение вида

C₁₁u₁ + C₂u₂ + ... + C_nu_n = 0, (*)

где С₁, C₂, ..., C_n - числа, из которых хотя бы одно отлично от нуля, а u₁, u₂, ..., u_n - те или иные матем. объекты, для которых определены операции сложения и умножения на число. В соотношение (*) объекты u₁, u₂, ..., u_n входят в 1-й степени, т. е. линейно; поэтому описываемая этим соотношением зависимость между ними называется линейной. Знак равенства в формуле (*) может иметь различный смысл и в каждом конкретном случае должен быть разъяснён. Понятие Л. з. употребляется во многих разделах математики. Так, можно говорить о Л. з. между векторами, между функциями от одного или нескольких переменных, между элементами линейного пространства и т. д. Если между объектами u₁, u₂, ..., u_n имеется Л. з., то говорят, что эти объекты линейно зависимы; в противном случае их называется линейно независимыми. Если объекты u₁, u₂, ..., u_n линейно зависимы, то хотя бы один из них является линейной комбинацией остальных, т. е.

u₁ = α ₁u₁ + ... + α _i-1u_i-1 + α _i+1u_i+1 + ... + α _nu_n.

Непрерывные функции от одного переменного

u₁ = φ ₁(х), u₂ = φ ₂(х), ..., u_n = φ _n(x) называются линейно зависимыми, если между ними имеется соотношение вида (*), в котором знак равенства понимается как тождество относительно х. Для того чтобы функции φ ₁(x), φ ₂(x), ..., φ _n(x), заданные на некотором отрезке а ≤ х ≤ b, были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы обращался в нуль их определитель Грама

где

i, k = 1,2, ..., n.

Если же функции φ₁ (x), φ₂(x), ..., φ_n(x) являются решениями линейного дифференциального уравнения (См. Линейные дифференциальные уравнения), то для существования Л. з. между ними необходимо и достаточно, чтобы Вронскиан обращался в нуль хотя бы в одной точке.

Линейные формы (См. Линейная форма) от m переменных

u₁ = a_i1x₁ + a_i2x₂ + ... + a_imx_m

(i = 1, 2, ..., n)

называются линейно зависимыми, если существует соотношение вида (*), в котором знак равенства понимается как тождество относительно всех переменных x₁, x₂, ..., x_m. Для того чтобы n линейных форм от n переменных были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы обращался в нуль определитель

D=

то же, что Геометрическая оптика.

раздел оптики (См. Оптика), в котором изучаются законы распространения света на основе представлений о световых лучах. Под световым лучом понимают линию, вдоль которой распространяется поток световой энергии. Понятие луча не противоречит действительности только в той мере, в какой можно пренебрегать дифракцией света (См. Дифракция света) на оптических неоднородностях, а это допустимо только тогда, когда длина световой волны много меньше размеров неоднородностей. Законы Г. о. позволяют создать упрощённую, но в большинстве случаев достаточно точную теорию оптических систем (См. Оптические системы). Г. о. в основном объясняет образование изображений оптических (См. Изображение оптическое), даёт возможность вычислять Аберрации оптических систем и разрабатывать методы их исправления, вывести энергетические соотношения в световых пучках, проходящих через оптические системы. Вместе с тем все волновые явления, в том числе дифракционные, влияющие на качество изображений и определяющие разрешающую способность оптических приборов, не рассматриваются в Г. о.

Представление о световых лучах возникло ещё в античной науке. Евклид, обобщив достижения своих предшественников, сформулировал закон прямолинейного распространения света и закон отражения света (См. Отражение света). В 17 в. в связи с изобретением ряда оптических приборов (Зрительная труба, Лупа, Телескоп, Микроскоп и т.д.) и началом их широкого использования Г. о. бурно развивалась. Большая роль в этом развитии принадлежит И. Кеплеру, Р. Декарту и В. Снеллю, открывшему Снелля закон преломления света. Построение теоретических основ Г. о. к середине 17 в. было завершено установлением Ферма принципа, утверждающего, что луч света, вышедший из одной точки и проходящий через несколько сред с произвольными границами и меняющимся показателем преломления, попадает в другую точку за минимальное (точнее, за экстремальное) время. Для однородной среды принцип Ферма сводится просто к закону прямолинейного распространения света. Законы преломления и отражения, исторически открытые ранее, также являются следствиями этого принципа, который сыграл значительную роль в развитии и др. разделов физической теории. С 18 в. Г. о., совершенствуя методы расчёта оптических систем, развивалась как прикладная наука. После создания электродинамики (См. Электродинамика) классической было показано, что формулы Г. о. могут быть получены из уравнений Максвелла в качестве предельного случая, соответствующего переходу к исчезающе малой длине волны.

Г. о. является примером теории, позволившей при малом числе фундаментальных понятий и законов (представление о лучах света, законы отражения и преломления) получать много практически важных результатов. В теории оптических устройств она сохранила большое значение до настоящего времени. См. также Кардинальные точки, Линза, Эйконал.

Лит.: Ландсберг Г. С., Оптика, 4 изд., М., 1957 (Общий курс физики, т. 3).